Подготовила учитель математики Токар И.И.

Тема: Задачи на исследование знаков корней приведенного квадратного уравнения

Цели урока:

• Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по теме “Квадратные уравнения”
• Совершенствовать умение учащихся применять теорему Виета для решения квадратных уравнений.
• Формировать умение определять знаки корней квадратного уравнения
• Активизировать мыслительную деятельность способных учащихся посредством практических заданий исследовательского характера и заданий повышенной сложности.
• Воспитывать познавательный интерес к изучению математики.

Ход урока.

I.            Организационный момент. Постановка целей урока, мотивация.

В процессе выполнения различных упражнений нам приходится не только находить корни квадратных уравнений, но и определять знаки этих корней. Поэтому сегодня мы должны не только усовершенствовать навык решения квадратных уравнений, но и попытаться выявить закономерности , связывающие корни квадратных уравнений.

II.            Теоретическая эстафета. Проверка знаний учащихся.

§        Какое уравнение называется квадратным?

§        Какие числа называют коэффициентами квадратного уравнения?

§        Как они называются?

§        Дополните схему (схема с пропусками записана на доске):

§        Какое уравнение называется неполным?

§        Как решается неполное уравнение?

§        Как найти корни полного квадратного уравнения?

§        Сколько корней имеет квадратное уравнение при Д > 0? Д < 0? Д=0?

§        Какое уравнение называется приведенным квадратным уравнением?

III.            Историческая справка о квадратных уравнения.

 «Квадратные уравнения в Индии».

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

«Квадратные уравнения в древнем Вавилоне».

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. В их клинописных текстах встречаются не только неполные, но и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

«Квадратные уравнения в древней Греции».

Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически.

«Квадратные уравнения в Европе».

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским ученым математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только по Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв.

Впервые название “квадратные уравнения” было применено немцем Вольфом (1710 г.) и быстро распространилось по Европе в течение XVIII в.

Формула корней квадратного уравнения открывалась неоднократно. В работах европейских математиков создавались отдельные методы для решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвёл немец М. Штифель (1544 г.). Он дал “рецепт” решения (без доказательства и без объяснений) для всех видов квадратных уравнений с действительными корнями. Привычное для нас обозначение корней х₁ и х₂ ввёл французский математик Лагранж.(1798 г.)

IV.            Разминка. Активизация опорных знаний.

А какой учёный помогает нам решать квадратные уравнения, вы догадаетесь, выполнив задания, в которых нужно выписать правильный ответ во второй столбец.

 

Задание

Ответ

1.     Укажите квадратное уравнение: у) х – 4=2х;     ф) 2х2 – х +3=0;    к) 2х + 1 + х3=0 2.     Для уравнения х2 ─ 8х + 4 = 0 укажите значение  b: р) ─ 8;     а) 8;      и) 4 3.     Для уравнения, вида ах2 + bх + с = 0 укажите формулу дискриминанта: р) Д = b2 + 4ас;    к) Д = – b ─ 4 ас;      а) Д = b2 ─ 4 ас. 4.     Для уравнения, вида ах2 + bх + с = 0 укажите формулу корней в случае Д > О о) ;     а)  ;     н) . 5.     Какое уравнение является неполным? н) ;         с)         в) 6.     Корнем квадратного уравнения – х2 = -25 является число к) – 5;      т) 5;     у) 5;  – 5 7.     Определите число корней уравнения x2 + 6x + 9 = 0 б) нет корней; а) 1 корень; в) 2 корня; г) 3 корня. 8.     Найдите дискриминант квадратного уравнения: x2 + 5x – 6 = 0 к) 1;     в) 49;      н) 37; 9.     Укажите приведённое квадратное уравнение о) 2х2 – х +3=0   и) 5х +х2=6;     а) х =2х2 –3 10. Чему равна сумма корней уравнения x2 – 22x – 23 = 0? а) -22;   е) 22;   о) 23;     и) -45. 11. Чему равно произведение корней уравнения x2 –16x + 64 = 0? т) 64;    р) –64;   к) 16;    с) -16.

Правильно выполненные задания позволяют назвать имя Франсуа Виета, теорема которого помогает находить корни квадратного уравнения и могла помочь выполнить последних два задания.

Литературная страничка.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова!

В числителе с, в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе b, в знаменателе а.

Сформулируйте теорему Виета, опираясь на записи:

Теорема Виета для приведенного уравнения: «Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену»: х1+х2= – р;   х1⋅х2= q

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида:  ;

V.            Физкультминутка

VI.            Исследовательская работа учащихся

1)     Учащиеся разделены на две группы, каждая из которых работает по плану:

 

Выводы исследовательской работы записать в тетрадь:

Вывод 1: Если в квадратном уравнении ах² +bх+ c =0    a+ b +c=0, то x₁=1, x₂=c/a

Вывод 2: Если в квадратном уравнении ах² +bх+ c =0    a – b +c=0,

                                                                                то x₁= –1, x₂=

2)     А как быть, если не выполняются эти условия? Можно ли определять знаки корней квадратного уравнения без их решения?

Любая исследовательская работа происходит по плану, план записан на доске. Ребята работают по группам

1.            Решите уравнения.

2.            Определите, чему равен дискриминант этих уравнений.

3.            Установите, какой знак имеет сумма корней уравнения.

4.            Установите какой знак имеет произведение  корней уравнения.

5.            Сделайте вывод, о знаках корней квадратного уравнения

1       группа: х² – 9х+ 14 =0

             х² – 4х+ 3 = 0

2 группа х² +2,5х+ 1 =0

                     х² +6х+ 8 =0

для коллективного обсуждения х² +3х – 28 =0

                                                       х² – 8х – 9 = 0

Результатом работы являются записи на доске:

Корни квадратного уравнения имеют положительные знаки тогда и только тогда, когда

Корни квадратного уравнения имеют отрицательные знаки тогда и только тогда, когда

Корни квадратного уравнения имеют различные знаки тогда и только тогда, когда

VII.            Выполнение упражнений

1.       Какое из уравнений имеет корни разных знаков:

а) х² + 3х – 4 = 0;     б) х² + 5х +4 = 0

Устное выполнение с пояснением

2.       Квадратное уравнение х² – (а²+ 7а +19) х – а²+3а – 5 = 0

а) имеет два различных положительных корня;

б) имеет два различных отрицательных корня;

в) имеет корни разных знаков;

г) имеет один корень;

д) не имеет корней

Комментированное решение у доски

3.       Квадратное уравнение х² + (а² –4а +3) х – а²+6а – 10 = 0

а) не имеет корней;

б) имеет два совпадающих корня;

в) имеет два различных отрицательных корня;

г) имеет два различных положительных корня;

д) имеет корни разных знаков

Для самостоятельного решения с последующей проверкой

4.       При каких значениях а сумма корней уравнения х² + (а² – 6а – 16)х –а =0 равна нулю?                                       Ответ: а = – 2 или а = 8

Работа в парах

5.       Найдите все значения а, при которых оба корня квадратного уравнения

х² +4ах +4а² – 2а +1 = 0 меньше – 1.           Ответ:(1; +∞)

Для самостоятельного решения отдельными учащимися, в случае затруднений – учитель оказывает помощь

VIII.            Подведение итогов урока. Рефлексия

ü     Достигли ли мы цели урока?

ü     Как можете оценить свою работу?